题目内容

【题目】如图,在四面体A﹣BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2 .M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.

(1)证明:PQ∥平面BCD;
(2)若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°,求∠BDC的大小.

【答案】
(1)解:取BD的中点O,在线段CD上取点F,使得DF=3CF,连接OP、OF、FQ

∵△ACD中,AQ=3QC且DF=3CF,∴QF∥AD且QF= AD

∵△BDM中,O、P分别为BD、BM的中点

∴OP∥DM,且OP= DM,结合M为AD中点得:OP∥AD且OP= AD

∴OP∥QF且OP=QF,可得四边形OPQF是平行四边形

∴PQ∥OF

∵PQ平面BCD且OF平面BCD,∴PQ∥平面BCD


(2)解:过点C作CG⊥BD,垂足为G,过G作GH⊥BM于H,连接CH

∵AD⊥平面BCD,CG平面BCD,∴AD⊥CG

又∵CG⊥BD,AD、BD是平面ABD内的相交直线

∴CG⊥平面ABD,结合BM平面ABD,得CG⊥BM

∵GH⊥BM,CG、GH是平面CGH内的相交直线

∴BM⊥平面CGH,可得BM⊥CH

因此,∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角,可得∠CHG=60°

设∠BDC=θ,可得

Rt△BCD中,CD=BDcosθ=2 cosθ,CG=CDsinθ=2 sinθcosθ,BG=BCsinθ=2 sin2θ

Rt△BMD中,HG= = ;Rt△CHG中,tan∠CHG= =

∴tanθ= ,可得θ=60°,即∠BDC=60°


【解析】(1)取BD的中点O,在线段CD上取点F,使得DF=3CF,连接OP、OF、FQ.根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF是平行四边形,从而PQ∥OF,再由线面平行判定定理,证出PQ∥平面BCD;(2)过点C作CG⊥BD,垂足为G,过G作GH⊥BM于H,连接CH.根据线面垂直的判定与性质证出BM⊥CH,因此∠CHG是二面角C﹣BM﹣D的平面角,可得∠CHG=60°.设∠BDC=θ,用解直角三角形的方法算出HG和CG关于θ的表达式,最后在Rt△CHG中,根据正切的定义得出tan∠CHG= = ,从而得到tanθ= ,由此可得∠BDC.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网