题目内容
【题目】如图，在三棱柱
中，
是边长为2的菱形，且
，
是矩形，
，且平面
平面，
点在线段
上移动（不与
重合），
是
的中点.
（1）当四面体
的外接球的表面积为
时，证明：
.平面
（2）当四面体的体积最大时，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）由题意，先求得
为
的中点，再证明平面
平面
，进而可得结论；
（2）由题意，当点位于点
时，四面体
的体积最大，再建立空间直角坐标系，利用空间向量运算即可.
（1）证明：当四面体的外接球的表面积为
时.
则其外接球的半径为
.
因为
时边长为2的菱形，
是矩形.
，且平面
平面.
则
，
.
则
为四面体外接球的直径.
所以
，即
.
由题意，
，
，所以
.
因为
，所以为的中点.
记
的中点为
，连接
，
.
则
，
，
，所以平面平面.
因为
平面
，所以
平面.
（2）由题意，
平面，则三棱锥
的高不变.
当四面体的体积最大时，
的面积最大.
所以当点位于点时，四面体的体积最大.
以点
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
.
则
，
，
，
，
.
所以
，
，
，
.
设平面
的法向量为
.
则
令
，得
.
设平面
的一个法向量为
.
则
令
，得
.
设平面
与平面
所成锐二面角是
，则
.
所以当四面体的体积最大时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
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名题训练系列答案
期末集结号系列答案【题目】“伟大的变革—庆祝改革开放40周年大型展览”于2019年3月20日在中国国家博物馆闭幕，本次特展紧扣“改革开放40年光辉历程”的主线，多角度、全景式描绘了我国改革开放40年波澜壮阔的历史画卷．据统计，展览全程呈现出持续火爆的状态，现场观众累计达423万人次，参展人数屡次创造国家博物馆参观纪录，网上展馆点击浏览总量达4.03亿次．
下表是2019年2月参观人数（单位：万人）统计表
日期 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
人数 | 3.0 | 3.1 | 2.5 | 2.3 | 5.4 | 6.8 | 6.2 | 6.7 | 5.5 | 4.9 | 3.2 | 3.0 | 2.7 | 2.5 |
日期 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |
人数 | 2.4 | 2.9 | 3.2 | 2.8 | 2.9 | 2.3 | 3.0 | 2.9 | 3.1 | 3.0 | 3.1 | 3.1 | 3.1 | 3.0 |
根据表中数据回答下列问题：
（1）请将2019年2月前半月（1～14日）和后半月（15～28日）参观人数统计对比茎叶图填补完整，并通过茎叶图比较两组数据方差的大小（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（2）将2019年2月参观人数数据用该天的对应日期作为样本编号，现从中抽样7天的样本数据．若抽取的样本编号是以4为公差的等差数列，且数列的第4项为15，求抽出的这7个样本数据的平均值；
（3）根据国博以往展览数据及调查统计信息可知，单日入馆参观人数为0～3（含3，单位：万人）时，参观者的体验满意度最佳，在从（2）中抽出的样本数据中随机抽取两天的数据，求这两天参观者的体验满意度均为最住的概率．
