题目内容
【题目】如图1，在矩形
中，已知
，
，点
，
分别在边
，
上，且
，将梯形
沿
折起，使
在平面
上的射影
恰好落在线段
靠近的三等分点处，得到图2中的立体图形.
（1）
（2） 
（1）在图2中，求证：
平面
；
（2）求二面角
的大小.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）根据
得
面
，根据
得
面，从而得到
面，所以得到所以
面
；（2）以
为原点建立空间直角坐标系，得到面的法向量为
，
的法向量为
，根据向量夹角公式得到二面角
的大小.
（1）证明：在梯形
中，，
而
面，
面，
所以面，
在梯形
中，，
而
面，
面，
所以面，
面，
，
所以面面，
而
面，
所以面；
（2）如图，过作
，作
，
以为原点，以
，
，
为
，
，
轴建立空间直角坐标系.
由题意可求得
，
，所以
，
于是
，又
，
所以
，
，
设面的一个法向量为
，
所以
，则
令
，得
，
又知面的一个法向量为
，
设面与面所成二面角的大小为
，易知为锐角，
由（1）的证明可知面平面，
所以二面角
，
则
，
即二面角
.
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