题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，已知四边形
是边长为
的正方形，点
是
的中点，点
在底面上的射影为点，点
在棱
上，且四棱锥的体积为
.
（1）若点是的中点，求证:平面
平面
；
（2）若二面角
的余弦值为
，求直线
与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）求证见解析（2）
【解析】
（1）
是棱锥的高，由体积计算出高后计算出侧棱长，得侧面是等边三角形，可证
平面
，再得面面垂直；
（2）分别以
为
轴的正方向建立空间直角坐标系
，写出各点坐标，求出平面的法向量，直线的方向向量，由向量法来求空间角．
（1）依题意，
平面
，又是边长为
的正方形，且四棱锥的体积为
，
所以
，所以
，
，
又
，点
是
的中点，所以
，同理，
，又
，
所以平面
，又
平面
，所以平面
平面.
（2）连接
，易得，
，
互相垂直，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
因为为棱上一点，设
，所
，
设平面的法向量
，则由
得
令
，则
，所以
，又平面
的法向量为
，
所以
，解得
，所以
，
又
，所以
，
所以直线
与平面所成角的正弦值为.
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