题目内容
【题目】已知函数,
的最大值为
.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)当时,讨论函数
的单调性;
(Ⅲ)当时,令
,是否存在区间
.使得函数
在区间
上的值域为
若存在,求实数
的取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1) ;(2)
时,
在
单调增;
时,
在
单调递减,在
单调递增;
时,同理
在
单调递减,在
单调递增;(3)不存在.
【解析】分析:(1)利用导数研究函数的单调性,可得当时,
取得极大值,也是最大值,
由,可得结果;(2)求出
,分三种情况讨论
的范围,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(3)假设存在区间
,使得函数
在区间
上的值域是
,则
,问题转化为关于
的方程
在区间
内是否存在两个不相等的实根,进而可得结果.
详解:(1) 由题意得,
令,解得
,
当时,
,函数
单调递增;
当时,
,函数
单调递减.
所以当时,
取得极大值,也是最大值,
所以,解得
.
(2)的定义域为
.
①即
,则
,故
在
单调增
②若,而
,故
,则当
时,
;
当及
时,
故在
单调递减,在
单调递增。
③若,即
,同理
在
单调递减,在
单调递增
(3)由(1)知,
所以,令
,则
对
恒成立,所以
在区间
内单调递增,
所以恒成立,
所以函数在区间
内单调递增.
假设存在区间,使得函数
在区间
上的值域是
,
则,
问题转化为关于的方程
在区间
内是否存在两个不相等的实根, 即方程
在区间
内是否存在两个不相等的实根,
令,
,则
,
设,
,则
对
恒成立,所以函数
在区间
内单调递增,
故恒成立,所以
,所以函数
在区间
内单调递增,所以方程
在区间
内不存在两个不相等的实根.
综上所述,不存在区间,使得函数
在区间
上的值域是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某市劳动部门坚持就业优先,采取多项措施加快发展新兴产业,服务经济,带来大量就业岗位,据政府工作报告显示,截至2018年末,全市城镇新增就业21.9万人,创历史新高.城镇登记失业率为4.2%,比上年度下降0.73个百分点,处于近20年来的最低水平.
(1)现从该城镇适龄人群中抽取100人,得到如下列联表:
失业 | 就业 | 合计 | |
男 | 3 | 62 | 65 |
女 | 2 | 33 | 35 |
合计 | 5 | 95 | 100 |
根据联表判断是否有99%的把握认为失业与性别有关?
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(2)调查显示,新增就业人群中,新兴业态,民营经济,大型国企对就业支撑作用不断增强,其岗位比例为,现从全市新增就业人群(数目较大)中抽取4人,记抽到的新兴业态的就业人数为X,求X的分布列和数学期望.