题目内容

(本小题满分14分)已知数列{an}中,(t>0且t≠1).若是函数的一个极值点.
(Ⅰ)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)记,当t=2时,数列的前n项和为Sn,求使Sn>2008的n的最小值;
(Ⅲ)当t=2时,求证:对于任意的正整数n,有
解:分析:利用是函数的一个极值点求出的关系式,从而加以证明第(1)问,而第(2)问的解决关键在于运用等比数列的求和公式,再利用函数的单调性得出n的最小值。第(3)问中先将拆项并求和,通过观察与分析得出指数函数g(x)的表达式。
(Ⅰ).由题意,即
,∴
,∴数列是以为首项,t为公比的等比数列,

以上各式两边分别相加得,∴
时,上式也成立,∴
(Ⅱ)当t=2时,


,得

因此n的最小值为1005.
(Ⅲ)∵
  
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