Question

【题目】已知， ，其中是自然常数， .

（1）当时，求的极值，并证明恒成立；

（2）是否存在实数，使的最小值为 ？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2) .

【解析】试题分析：（1）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出f（x）的极小值，令，求出h（x）的最大值，从而证出结论即可；（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数f（x）的最小值，求出a的值即可．

试题解析：

（1）证明：∵， .∴当时， ，此时单调递减；当时， ，此时单调递增.∴的极小值为.即在上的最小值为 .令， ，当时， ， 在上单调递增，∴，∴恒成立.

（2）假设存在实数，使有最小值 ， .

①当时， 在上单调递减， ， （舍去），∴时，不存在使的最小值为3.

②当时， 在上单调递减，在上单调递增，∴， ，满足条件.

③当时， 在上单调递减， ，（舍去），∴时，不存在使的最小值为 .

综上，存在实数，使得当时， 有最小值 .