题目内容
【题目】中,
是
的中点,
,其周长为
,若点
在线段
上,且
.
(1)建立合适的平面直角坐标系,求点的轨迹
的方程;
(2)若是射线
上不同两点,
,过点
的直线与
交于
,直线
与
交于另一点
.证明:
是等腰三角形.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)由题意得,以为坐标原点,以
的方向为
轴的正方向,建立平面直角坐标系
,
得
的轨迹方程为
,再将相应的点代入即可得到点
的轨迹
的方程;(2)由(1)中的轨迹方程得到
轴,从而得到
,即可证明
是等腰三角形.
试题解析:解法一:(1)以为坐标原点,以
的方向为
轴的正方向,建立平面直角坐标系
.
依题意得.
由,得
,
因为故,
所以点的轨迹是以
为焦点,长轴长为6的椭圆(除去长轴端点),
所以的轨迹方程为
.
设,依题意
,
所以,即
,
代入的轨迹方程
得,
,
所以点的轨迹
的方程为
.
(2)设.
由题意得直线不与坐标轴平行,
因为,所以直线
为
,
与联立得,
,
由韦达定理,
同理,
所以或
,
当时,
轴,
当时,由
,得
,
同理,
轴.
因此,故
是等腰三角形.
解法二:
(1)以为坐标原点,以
的方向为
轴的正方向,建立平面直角坐标系
.
依题意得.
在轴上取
,
因为点在线段
上,且
,
所以,
则,
故的轨迹是以
为焦点,长轴长为2的椭圆(除去长轴端点),
所以点的轨迹
的方程为
.
(2)设,
,
由题意得,直线斜率不为0,且
,
故设直线的方程为:
,其中
,
与椭圆方程联立得,
,
由韦达定理可知, ,
其中,
因为满足椭圆方程,故有
,
所以.
设直线的方程为:
,其中
,
同理,
故
,
所以,即
轴,
因此,故
是等腰三角形.
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