Question

【题目】已知f（x）=3|x+2|﹣|x﹣4|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）设m，n，k为正实数，且m+n+k=f（0），求证：mn+mk+nk≤ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=3|x+2|﹣|x﹣4|．

当x＜﹣2时，﹣3（x+2）+（x﹣4）＞2，解得x＜﹣6．

∴x＜﹣6

当﹣2≤x≤4时，3（x+2）+（x﹣4）＞2，解得x＞0，

∴0＜x≤4．

当x＞4时，3（x+2）﹣（x﹣4）＞2，解得x＞﹣4，

∴x＞4．

综上可得：不等式的解集是{x|x＜﹣6，或x＞0}．

（2）证明：m+n+k=f（0）=2，m，n，k为正实数，

∴（m+n+k）2=4，展开可得：m2+n2+k2+2mn+2mk+2nk=4，

∴m2+n2+k2=4﹣2（mn+mk+nk），

∵m2+n2≥2mn，m2+k2≥2mk，n2+k2≥2nk，

∴m2+n2+k2≥mn+nk+mk，

∴4﹣2（mn+mk+nk）≥mn+nk+mk，

∴mn+mk+nk ，当且仅当m=n=k= 时取等号

【解析】（1）f（x）=3|x+2|﹣|x﹣4|．对x分类讨论：当x＜﹣2时；当﹣2≤x≤4时；当x＞4时，即可得出不等式的解集．（2）由m+n+k=f（0）=2，m，n，k为正实数，平方展开可得：m2+n2+k2+2mn+2mk+2nk=4，m2+n2+k2=4﹣2（mn+mk+nk），利用重要不等式的性质可得：m2+n2+k2≥mn+nk+mk，代入解出即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用绝对值不等式的解法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．