Question

（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF∥，截面PQGH∥．
（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，
并求出这个值；
（Ⅲ）若，求与平面PQEF所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）同解析（Ⅱ）截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值．（Ⅲ）．

解法一：
（Ⅰ）证明：在正方体中，，，
又由已知可得
，，，
所以，，
所以平面．
所以平面和平面互相垂直．  4分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是
，是定值．    8分
（Ⅲ）解：设交于点，连结，
因为平面，
所以为与平面所成的角．
因为，所以分别为，，，的中点．
可知，．
所以．   12分

解法二：
以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xyz．由已知得，故
，，，，
，，，
，，．

（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得
，
，
．
因为，所以是平面PQEF的法向量．
因为，所以是平面PQGH的法向量．
因为，所以，
所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．  4分
（Ⅱ）证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．
在所建立的坐标系中可求得，，
所以，又，
所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值． 8分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面的法向量．
由为中点可知，分别为，，的中点．
所以，，因此与平面所成角的正弦值等于
． 12分