Question

5．在某产品的生产过程中，次品率p依赖于日产量，已知p=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{101-x}，0＜x≤100}\\{1，x＞100}\end{array}\right.$，其中x为正整数，已知该厂每生产一件正品可盈利A元，但生产一件次品就要损失$\frac{A}{3}$元．
（1）将该厂的日盈利额y（元）表示为日产量x（件）的函数，并指出这个函数的定义域：
（2）为了获得最大利益，该厂的日产量应定义为多少．

Answer 1

分析 （1）通过盈利=总盈利额-损失列式即可；
（2）通过（1）可知y=A[101+$\frac{4}{3}$-（101-x）+$\frac{404}{3（101-x）}$]，通过令u=101-x换元可知f（x）=u+$\frac{404}{3u}$=g（u）在（0，$\sqrt{\frac{404}{3}}$]上为减函数、在[$\sqrt{\frac{404}{3}}$，+∞）上为增函数，进而计算可得结论．

解答 解：（1）依题意，y=A（x-xp）-$\frac{1}{3}$Ap（0＜x≤100）；
（2）当x≥100时，产品全为次品，工厂不盈利，不符题意；
故p只能取$\frac{1}{101-x}$，
则y=A[101+$\frac{4}{3}$-（101-x）+$\frac{404}{3（101-x）}$]，
换元，令u=101-x，则u∈（1，101），且u为正整数，
则f（x）=u+$\frac{404}{3u}$=g（u）在（0，$\sqrt{\frac{404}{3}}$]上为减函数，在[$\sqrt{\frac{404}{3}}$，+∞）上为增函数，
∵u（12）=f（89）=$\frac{209}{9}$≈23.22＜u（11）=f（90）=$\frac{767}{33}$≈23.24，
∴当x=90时y取最大值，
答：为了获得最大利益，该厂的日产量应定义为90件．

点评 本题考查根据实际问题选择函数类型，考查分析问题、解决问题的能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．