Question

15．已知点A（-1，-1），若点P（a，b）为第一象限内的点，且满足|AP|=2$\sqrt{2}$，则ab的最大值为1．

Answer 1

分析 |AP|=2$\sqrt{2}$，可得（a+1）²+（b+1）²=8，令$\left\{\begin{array}{l}{a=-1+2\sqrt{2}cosθ}\\{b=-1+2\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$，θ∈$（arcsin\frac{\sqrt{2}}{4}，\frac{π}{2}-arcsin\frac{\sqrt{2}}{4}）$．则ab=1-2$\sqrt{2}$（sinθ+cosθ）+8sinθcosθ，令sinθ+cosθ=t=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$．再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵|AP|=2$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{（a+1）^{2}+（b+1）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，（a，b＞0）．
化为（a+1）²+（b+1）²=8，
令$\left\{\begin{array}{l}{a=-1+2\sqrt{2}cosθ}\\{b=-1+2\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$，θ∈$（arcsin\frac{\sqrt{2}}{4}，\frac{π}{2}-arcsin\frac{\sqrt{2}}{4}）$．
则ab=1-2$\sqrt{2}$（sinθ+cosθ）+8sinθcosθ，
令sinθ+cosθ=t=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，
sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$．
∴ab=1-2$\sqrt{2}$t+4（t²-1）
=$4（t-\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}$-$\frac{7}{2}$≤1，当且仅当$θ=\frac{π}{4}$时取等号．
故答案为：1．

点评 本题考查了两点之间的距离公式、三角函数代换与三角函数的单调性值域、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．