题目内容
15.在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=$\frac{2π}{3}$,$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$,则$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PD}$的值为$-\frac{12}{9}$.分析 由题意画出图形,利用已知及平面向量基本定理把$\overrightarrow{PB}、\overrightarrow{PD}$用向量$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AD}$表示,然后展开数量积运算得答案.
解答 解:如图,$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|=2$,$∠A=\frac{2π}{3}$,
$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PD}$=($\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}$)•$\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$
=($-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$$+\overrightarrow{AB}$)•$\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$
=$-\frac{2}{9}|\overrightarrow{AD}{|}^{2}$+$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=$-\frac{2}{9}×4+\frac{2}{3}×2×2×cos\frac{2π}{3}$=$-\frac{8}{9}+\frac{8}{9}×(-\frac{1}{2})=-\frac{12}{9}$.
故答案为:$-\frac{12}{9}$.
点评 本题考查平面向量的数量积运算,训练了平面向量基本定理的应用,是中档题.
练习册系列答案
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