题目内容

19．已知F（1，0）为一定点，P（0，b）是y轴上的一动点，x轴上的点M满足$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$=0，点N满足2$\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NM}$=$\vec 0$．
（Ⅰ）求点N的轨迹曲线C的方程；
（Ⅱ）过直线l：2x-y+1=0的点Q作曲线C的切线QA，QB，切点分别为A，B，求证：当点Q在直线l上运动时，直线AB恒过定点S．

分析 （Ⅰ）设M（a，0），求得向量的坐标，运用向量的数量积的坐标表示和向量共线的坐标表示，化简整理即可得到所求轨迹方程；
（Ⅱ）求得曲线上非原点外切线的斜率，以及切线方程，求得切点弦AB的方程，结合Q在直线l上，可得定点S的坐标；再由原点作切线QA，QB，求得AB的方程，即可判断定点S的坐标．

解答 解：（Ⅰ）设M（a，0），则$\overrightarrow{PM}$=（a，-b），$\overrightarrow{PF}$=（1，-b），
由$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$=0可得a+b2=0，
设N（x，y），由点N满足2$\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NM}$=$\vec 0$．即$\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{0}$，
则a+x=0，y-2b=0，
即有曲线C的方程为y2=4x；
（Ⅱ）证明：（1）y＞0时，y=2$\sqrt{x}$，y′=$\frac{1}{\sqrt{x}}$=$\frac{2}{y}$，
y＜0时，y=-2$\sqrt{x}$，y′=-$\frac{1}{\sqrt{x}}$=$\frac{2}{y}$，
则曲线C上除原点外任一点（x，y）处的切线的斜率均为$\frac{2}{y}$，
设Q（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2≠0，
可得切线QA的方程为2x1-y1y+2x=0，
切线QB的方程为2x2-y2y+2x=0，
代入Q，可得2x1-y1y0+2x0=0，且2x2-y2y0+2x0=0，
即有AB的方程为2x-yy0+2x0=0，
又2x0-y0+1=0，
可得2x-1+y0（1-y）=0，
令2x-1=0，且1-y=0，解得x=$\frac{1}{2}$，y=1．
即有AB恒过定点S（$\frac{1}{2}$，1）；
（2）若切点A为原点，则Q（0，1），
设QB：y=kx+1与抛物线y2=4x相切，则k=1，
切点B（1，2），AB的方程为y=2x，也过点S（$\frac{1}{2}$，1），
综上可得，当点Q在直线l上运动时，直线AB恒过定点S（$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查轨迹方程的求法，同时考查向量的数量积的坐标表示和向量的共线的坐标运算，考查直线和抛物线相切的切线方程和切点弦方程的求法，以及直线恒过定点的问题，属于中档题．

练习册系列答案
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