题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数在
上是增函数,求实数
的取值范围;
(2)若函数在
上的最小值为3,求实数
的值.
【答案】(1)1(2)(3)
【解析】试题分析:(1)这是一个由函数在某区间上是增函数,求参数取值范围的问题,可转化为其导函数在此区间上恒大于或等于0的一个恒成立问题,恒成立问题是我们所熟悉的问题,可采用分离参数法进行解答,也可由函数本身的性质作出判断;(2)这是一个求含参函数在某区间上的最小值问题,可通过导数的符号去判断函数的单调区间,当然一般会涉及对参数的讨论,之后利用单调性则可求出函数的最小值,再由最小值为3,就可求出参数的值.
(1)∵,∴
2分
∵在
上是增函数
∴≥0在
上恒成立,即
≤
在
上恒成立 4分
令,则
≤
∵在
上是增函数,∴
∴.所以实数
的取值范围为
7分
(2)由(1)得,
①若,则
,即
在
上恒成立,此时
在
上是增函数
所以,解得
(舍去) 10分
②若,令
,得
,当
时,
,所以
在
上是减函数,当
时,
,所以
在
上是增函数
所以,解得
(舍去) 13分
③若,则
,即
在
上恒成立,此时
在
上是减函数
所以,所以
16分.

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