题目内容

【题目】已知函数,其中.

(1)当时,求的单调区间;

(2)证明:对任意的在区间内均存在零点.

【答案】(1)的单调递增区间是的单调递减区间是.(2)见解析.

【解析】试题分析:(1)由,令,解得,解出不等式,故而可得单调区间;(2)由(1)可知,当时,内递减,内单调递增,进而分类讨论:当,即时,递减,在递增;当,即时,内递减,在内单调递增.利用零点存在定理可证对任意在区间内均存在零点.

试题解析:(1),令,解得

,∴

变化时,的变化情况如下表:

所以,的单调递增区间是的单调递减区间是.

(2)证明:由(1)可知,内的单调递减,在内单调递增,以下分两种情况讨论:

(ⅰ)当,即时,内单调递减,

.

所以对任意在区间内均存在零点.

(2)当,即时,内单调递减,在内单调递增,若.

(也可由二次函数知识证明上恒大于0)

所以内存在零点.

(也可以利用求导的方法证明上恒小于0)所以内存在零点.

所以,对任意在区间内均存在零点.

综上,对任意在区间内均存在零点,原不等式成立.

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