题目内容
【题目】已知函数,,其中.
(1)当时,求的单调区间;
(2)证明:对任意的,在区间内均存在零点.
【答案】(1)的单调递增区间是,;的单调递减区间是.(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)由,令,解得或,解出不等式和,故而可得单调区间;(2)由(1)可知,当时,在内递减,内单调递增,进而分类讨论:当,即时,在递减,在递增;当,即时,在内递减,在内单调递增.利用零点存在定理可证对任意,在区间内均存在零点.
试题解析:(1),令,解得或,
∵,∴,
当变化时,,的变化情况如下表:
+ | - | + | |
↗ | ↘ | ↗ |
所以,的单调递增区间是,;的单调递减区间是.
(2)证明:由(1)可知,在内的单调递减,在内单调递增,以下分两种情况讨论:
(ⅰ)当,即时,在内单调递减,
,.
所以对任意,在区间内均存在零点.
(2)当,即时,在内单调递减,在内单调递增,若,,.
(也可由二次函数知识证明在上恒大于0)
所以在内存在零点.
若,,
(也可以利用求导的方法证明在上恒小于0)所以在内存在零点.
所以,对任意,在区间内均存在零点.
综上,对任意,在区间内均存在零点,原不等式成立.
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