Question

【题目】已知函数f（x）=x+ ﹣4，g（x）=kx+3．
（1）当a=k=1时，求函数y=f（x）+g（x）的单调递增与单调递减区间；
（2）当a∈[3，4]时，函数f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），试求实数m的取值范围；
（3）当a∈[1，2]时，若不等式|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2）对任意x1 ， x2∈[2，4]（x1＜x2）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=k=1时，y=f（x）+g（x）=2x+ ﹣1，

y′=2﹣ = ，

令y′＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令y′＜0，解得：﹣1＜x＜1且x≠0，

故函数在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，0），（0，1）递减，在（1，+∞）递增

（2）解：∵a∈[3，4]，

∴y=f（x）在（1， ）上递减，在（ ，+∞）上递增，

又∵f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），

∴f（m）≥f（1），解得（m﹣1）（m﹣a）≥0，

∴m≥amax，即m≥4

（3）解：∵|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2），

∴|f（x1）|﹣g（x1）＜|f（x2）|﹣g（x2）恒成立，

令F（x）=|f（x）|﹣g（x），则F（x）在[2，4]上递增．

对于F（x）= ，

（i）当x∈[2，2+ ]时，F（x）=（﹣1﹣k）x﹣ +1，

①当k=﹣1时，F（x）=﹣ +1在[2，2+ ]上递增，所以k=﹣1符合；

②当k＜﹣1时，F（x）=（﹣1﹣k）x﹣ +1在[2，2+ ]上递增，所以k＜﹣1符合；

③当k＞﹣1时，只需 ≥2+ ，即 ≥（ + ）max=2+ ，

所以﹣1＜k≤6﹣4 ，从而k≤6﹣4 ；

（ii）当x∈（2+ ，4]时，F（x）=（1﹣k）x+ ﹣7，

①当k=1时，F（x）= ﹣7在（2+ ，4]上递减，所以k=1不符合；

②当k＞1时，F（x）=（1﹣k）x+ ﹣7在（2+ ，4]上递减，所以k＞1不符合；

③当k＜1时，只需 ≤2+ ，即 ≤（ + ）min=1+ ，

所以k＜2 ﹣2，

综上可知：k≤6﹣4

【解析】（1）将a=k=1代入函数，求出函数y=f（x）+g（x）的导数，从而求出函数的单调区间即可；（2）解不等式f（m）≥f（1）即可；（3）不等式等价于F（x）=|f（x）|﹣g（x）在[2，4]上递增，显然F（x）为分段函数，结合单调性对每一段函数分析讨论即可．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．