题目内容
2．定义区间（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的长度均为d=b-a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如：（1，2）∪[3，5）的长度d=（2-1）+（5-3）=3，用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x-[x]，其中x∈R，设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x-1，若用d1，d2，d3分别表示不等式f（x）＞g（x），方程f（x）=g（x），不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度，则当0≤x≤2011时，有（ ）| A． | ）d1=1，d2=2，d3=2008 | B． | ）d1=1，d2=1，d3=2009 | ||
| C． | ）d1=3，d2=5，d3=2003 | D． | ）d1=2，d2=3，d3=2006 |
分析 根据题意，分别求出f（x）＞g（x）、f（x）=g（x）与f（x）＜g（x）在0≤x≤2011时的解集即可．
解答 解：∵f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]2，g（x）=x-1，
∴由f（x）＞g（x）得，[x]x-[x]2＞x-1，
即（[x]-1）x＞[x]2-1；
当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＜1，∴x∈[0，1）；
当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＜0，∴x∈∅；
当x∈[2，2011]时，[x]-1＞0，上式可化为x＞[x]+1，∴x∈∅；
∴f（x）＞g（x）在0≤x≤2011时的解集为[0，1），故d1=1；
由f（x）=g（x）得，[x]x-[x]2=x-1，
即（[x]-1）x=[x]2-1；
当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x=1，∴x∈∅；
当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0=0，∴x∈[1，2）；
当x∈[2，2011]时，[x]-1＞0，上式可化为x=[x]+1，∴x∈∅；
∴f（x）=g（x）在0≤x≤2011时的解集为[1，2），故d2=1；
由f（x）＜g（x）得，[x]x-[x]2＜x-1，
即（[x]-1）x＜[x]2-1；
当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；
当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈∅；
当x∈[2，2011]时，[x]-1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，2011]；
∴f（x）＜g（x）在0≤x≤2011时的解集为[2，2011]，故d3=2009．
综上，d1=1，d2=1，d3=2009．
故选：B．
点评 本题考查了新定义的关于函数性质以及不等式的解法和应用问题，是综合性题目．
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| A． | （-∞，$\frac{3}{2}$] | B． | （-∞，$\frac{3}{2}$） | C． | [$\frac{3}{2}$，+∞） | D． | （$\frac{3}{2}$，+∞） |
13．给出以下四个判断：
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③三条平行直线共面；
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其中不正确的判断的个数为3．．
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| A． | $\frac{13}{18}$ | B． | $\frac{13}{23}$ | C． | $\frac{3}{18}$ | D． | $\frac{7}{23}$ |