题目内容
【题目】已知数列的首项,前项和为,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前n项和Tn,并证明:1≤Tn<.
【答案】(1) an=3n-1.
(2) . 证明见解析.
【解析】分析:(1)由递推关系式可得{an}是以3为公比的等比数列.且首项为1,则其通项公式为an=3n-1.
(2)由题意可得,错位相减可得,据此结合的单调性即可证得题中的结论.
详解: (1)由an+1=2Sn+1,得an=2Sn-1+1(n≥2),
两式相减得an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an,
故an+1=3an(n≥2),
所以当n≥2时,{an}是以3为公比的等比数列.
因为a2=2S1+1=2a1+1=3,=3,
所以{an}是首项为1,公比为3的等比数列,an=3n-1.
(2)由(1)知an=3n-1,故bn=log3an+1=log33n=n,==n·,
Tn=1+2×+3×+4×+…+n×,①
Tn=1×+2×+3×+…+(n-1)×+ n×,②
①-②,得Tn=1++,
所以Tn=-(+n). 因为(+n) >0, 所以Tn=-(+n)<.
又因为Tn+1-Tn=>0,所以数列{Tn}单调递增,所以(Tn)min=T1=1,所以1≤Tn<.
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