题目内容

【题目】已知数列的首项项和为.

(1)求数列的通项公式;

(2)设,求数列的前n项和Tn,并证明:1≤Tn<.

【答案】(1) an=3n1.

(2) . 证明见解析.

【解析】分析:(1)由递推关系式可得{an}是以3为公比的等比数列.且首项为1,则其通项公式为an=3n1.

(2)由题意可得,错位相减可得,据此结合的单调性即可证得题中的结论.

详解: (1)an1=2Sn+1,得an=2Sn1+1(n≥2),

两式相减得an1an=2(SnSn1)=2an

an1=3an(n≥2),

所以当n≥2时,{an}是以3为公比的等比数列.

因为a2=2S1+1=2a1+1=3,=3,

所以{an}是首项为1,公比为3的等比数列,an=3n1.

(2)(1)an=3n1,故bnlog3an1log33nnn·

Tn=1+2×+3×+4×+…+n×

Tn=1×+2×+3×+…+(n-1+ n×

②,得Tn=1+,

所以Tn-(n). 因为(n) >0, 所以Tn-(n)<.

又因为Tn1Tn>0,所以数列{Tn}单调递增,所以(Tn)minT1=1,所以1≤Tn<.

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