题目内容

3.如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,PE=2BE.
(I)求证:平面EAC⊥平面PBC;
(Ⅱ)若二面角P-AC-E的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.

分析 (I)由PC⊥底面ABCD,可得PC⊥AC.由AB=2,AD=CD=1,利用勾股定理的逆定理可得:AC⊥BC,因此AC⊥平面PBC,即可证明平面EAC⊥平面PBC.
(II)取AB的中点F,两角CF,则CF⊥AB,以点C为原点,建立空间直角坐标系,可得设P(0,0,a)(a>0),可取$\overrightarrow{m}$=(1,-1,0),利用向量垂直与数量积的关系可得:$\overrightarrow{m}$为平面PAC的法向量.设$\overrightarrow{n}$=(x,y,z)为平面EAC的法向量,则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\end{array}\right.$,可得$\overrightarrow{n}$,由于二面角P-AC-E的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,可得$|cos<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>|$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,解得a=4.设直线PA与平面EAC所成角为θ,则sinθ=|$cos<\overrightarrow{PA},\overrightarrow{n}>$|=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{n}|}$即可得出.

解答 (I)证明:∵PC⊥底面ABCD,AC?平面ABCD,
∴PC⊥AC.
∵AB=2,AD=CD=1,∴AC=BC=$\sqrt{2}$,∴AC2+BC2=AB2
∴AC⊥BC,又BC∩PC=C,
∴AC⊥平面PBC,又AC?平面EAC,
∴平面EAC⊥平面PBC.
(II)解:取AB的中点F,两角CF,则CF⊥AB,以点C为原点,建立空间直角坐标系,
可得:C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0),
设P(0,0,a)(a>0),则E$(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{a}{3})$,
$\overrightarrow{CA}$=(1,1,0),$\overrightarrow{CP}$=(0,0,a),$\overrightarrow{CE}$=$(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{a}{3})$,
取$\overrightarrow{m}$=(1,-1,0),则$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CA}$=0,
∴$\overrightarrow{m}$为平面PAC的法向量.
设$\overrightarrow{n}$=(x,y,z)为平面EAC的法向量,则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{2x-2y+az=0}\end{array}\right.$,
取$\overrightarrow{n}$=(a,-a,-4),
∵二面角P-AC-E的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,
∴$|cos<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>|$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2a}{\sqrt{2}×\sqrt{2{a}^{2}+16}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,解得a=4,
∴$\overrightarrow{n}$=(4,-4,-4),$\overrightarrow{PA}$=(1,1,-4).
设直线PA与平面EAC所成角为θ,则sinθ=|$cos<\overrightarrow{PA},\overrightarrow{n}>$|=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{16}{\sqrt{18}×\sqrt{16×3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{9}$,
∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{6}}{9}$.

点评 本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理、向量垂直与数量积的关系、利用法向量求空间角,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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