Question

11．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知2sinAsinB=2sin²A+2sin²B+cos2C-1
（1）求∠C的大小；
（2）若a-2b=1，且△ABC的面积为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，求边a的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简已知得ab=a²+b²-C²，由余弦定理可得cosB=$\frac{1}{2}$，结合B的范围即可求B．
（Ⅱ）由S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．可解得ac=10．又a-2c=1，即可得解．

解答 （本题满分15分）
解：（Ⅰ）因为2sinAsinB=2sin²A+2sin²B+cos2C-1
由正弦定理可得：sinA=$\frac{a}{2R}$，sinB=$\frac{b}{2R}$，sinC=$\frac{c}{2R}$，
代入上式，从而可得：2ab=2a²+2b²-2C²，既有：ab=a²+b²-C²，
所以，由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
由B为三角形内角，从而求得：B=$\frac{π}{3}$．…（7分）
（Ⅱ）因为△ABC的面积为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．…（9分）
所以ab=10．…（11分）
又因为a-2b=1，
所以a=5．…（15分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．