题目内容
已知
=(x,0),
=(1,y),且(
+
)⊥(
-
).
(1)求点P(x,y)的轨迹C的方程,且画出轨迹C的草图;
(2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与上述曲线C交于不同的两点A、B,求实数k和m所满足的条件;
(3)在(2)的条件下,若另有定点D(0,-1),使|AD|=|BD|,试求实数m的取值范围.
a |
b |
a |
3 |
b |
a |
3 |
b |
(1)求点P(x,y)的轨迹C的方程,且画出轨迹C的草图;
(2)若直线l:y=kx+m(k≠0)与上述曲线C交于不同的两点A、B,求实数k和m所满足的条件;
(3)在(2)的条件下,若另有定点D(0,-1),使|AD|=|BD|,试求实数m的取值范围.
(1)(
+
)⊥(
-
)⇒(
+
)•(
-
)=0
⇒
2=3
2⇒x2=3(y2+1)
∴P(x,y)的轨迹C的方程为
-y2=1
其草图如右.(注:不画渐近线,不得分)
(2)
⇒(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0
⇒
(*)
(3)设A(x1,y1)、B(x2,y2),A、B中点为H(x0,y0),
则x0=
=
,y0=kx0+m=
,
由题意,有AB⊥DH⇒kAB•kDH=-1
⇒k•
=-1
⇒3k2=4m+1,
代入(*),得
⇒-
<m<0或m>4.
a |
3 |
b |
a |
3 |
b |
a |
3 |
b |
a |
3 |
b |
⇒
a |
b |
∴P(x,y)的轨迹C的方程为
x2 |
3 |
其草图如右.(注:不画渐近线,不得分)
(2)
|
|
|
(3)设A(x1,y1)、B(x2,y2),A、B中点为H(x0,y0),
则x0=
x1+x2 |
2 |
3km |
1-3k2 |
m |
1-3k2 |
由题意,有AB⊥DH⇒kAB•kDH=-1
⇒k•
| ||
|
⇒3k2=4m+1,
代入(*),得
|
⇒-
1 |
4 |
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