Question

【题目】已知函数=，若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是_________；

Answer 1

【答案】(0,1)

【解析】

由题意设g（x）=ex﹣e﹣x﹣2x，x∈R，则g（x）是定义域R上的奇函数，且为增函数；问题等价于g（x2+a）＞g（﹣2ax）恒成立，得出x2+a＞﹣2ax，利用判别式△＜0求得实数a的取值范围．

函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x+1，x∈R；可设g（x）=ex﹣e﹣x﹣2x，x∈R；

则f（x）=g（x）+1，

且g（﹣x）=e﹣x﹣ex+2x=﹣（ex﹣e﹣x﹣2x）=﹣g（x），

∴g（x）是定义域R上的奇函数；又g′（x）=ex+e﹣x﹣2≥0恒成立，

∴g（x）是定义域R上的增函数；

∴不等式f（x2+a）+f（2ax）＞2恒成立，

化为g（x2+a）+g（2ax）+2＞2恒成立，

即g（x2+a）＞﹣g（2ax）=g（﹣2ax）恒成立，∴x2+a＞﹣2ax恒成立，

即x2+2ax+a＞0恒成立；∴△=4a2﹣4a＜0，

解得0＜a＜1，∴实数a的取值范围是（0，1）．

故答案为：（0，1）．