题目内容
(12分)设函数f(x)=lnx-px+1(1)当P>0时,若对任意x>0,恒有f(x)≤0,求P的取值范围(2)证明: (n∈N,n≥2)
(1)P≥1(2)
:(1)f(x)=ln2x-px+1定义域(0,+∞),f′(x)=-p==
当P>0时,令f′(x)=0,x=(0,+∞)…………3分
当x∈(0, )时,f′(x)>0 f(x)为增函数,
当x∈( ,+∞)时f′(x)<0 f(x)为减函数。f(x)max=f()=ln
要使f(x)≤0恒成立只要f()=ln≤0∴P≥1………5分
(2)令P="1" 由(1)知:lnx-x+1≤0∴lnx≤x-1 n≥2
lnn2≤n2-1 ………8分
∴
=(n-1)-()<(n-1)-[]
=(n-1)-(+)=(n-1)-()=…12分
当P>0时,令f′(x)=0,x=(0,+∞)…………3分
当x∈(0, )时,f′(x)>0 f(x)为增函数,
当x∈( ,+∞)时f′(x)<0 f(x)为减函数。f(x)max=f()=ln
要使f(x)≤0恒成立只要f()=ln≤0∴P≥1………5分
(2)令P="1" 由(1)知:lnx-x+1≤0∴lnx≤x-1 n≥2
lnn2≤n2-1 ………8分
∴
=(n-1)-()<(n-1)-[]
=(n-1)-(+)=(n-1)-()=…12分
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