题目内容

抛物线y2=2px(p>0)上纵坐标为-p的点M到焦点的距离为2.
(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)如图,A,B,C为抛物线上三点,且线段MA,MB,MC 与x轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列,若△AMB的面积是△BMC面积的,求直线MB的方程.
(本题15分):(Ⅰ)解:设, 则
由抛物线定义,得所以.              ……5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线方程为
 (均大于零)  ……6分
 与轴交点的横坐标依次为
(1)当轴时,直线的方程为,则,不合题意,舍去.……7分
(2)轴不垂直时,
设直线的方程为,即
得2,同理2,2,                ……10分
因为依次组成公差为1的等差数列,
所以组成公差为2的等差数列.             ……12分
设点到直线的距离为,点到直线的距离为
因为,所以=2
所以       ……14分
,即,所以
所以直线的方程为:                      ……15分
解法二:(Ⅰ)同上.     (Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线方程为
由题意,设轴交点的横坐标依次为
 (均大于零).                  ……6分
(1)当轴时,直线的方程为,则,不合题意,舍去. ……7分
(2)轴不垂直时,
设直线的方程为,即
同理直线的方程为
 得 
 所以,                         ……12分
同理,设点到直线的距离为,点到直线的距离为,    因为,所以=2
所以 ……14分
化简得,即
所以直线的方程为:                      ……15分
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