题目内容
抛物线y2=2px(p>0)上纵坐标为-p的点M到焦点的距离为2.
(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)如图,A,B,C为抛物线上三点,且线段MA,MB,MC 与x轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列,若△AMB的面积是△BMC面积的,求直线MB的方程.
(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)如图,A,B,C为抛物线上三点,且线段MA,MB,MC 与x轴交点的横坐标依次组成公差为1的等差数列,若△AMB的面积是△BMC面积的,求直线MB的方程.
(本题15分):(Ⅰ)解:设, 则,,
由抛物线定义,得所以. ……5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线方程为,.
设,, (均大于零) ……6分
,, 与轴交点的横坐标依次为.
(1)当轴时,直线的方程为,则,不合题意,舍去.……7分
(2)与轴不垂直时,,
设直线的方程为,即,
令得2,同理2,2, ……10分
因为依次组成公差为1的等差数列,
所以组成公差为2的等差数列. ……12分
设点到直线的距离为,点到直线的距离为,
因为,所以=2,
所以 ……14分
得,即,所以,
所以直线的方程为: ……15分
解法二:(Ⅰ)同上. (Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线方程为,.
由题意,设与轴交点的横坐标依次为
设, (均大于零). ……6分
(1)当轴时,直线的方程为,则,不合题意,舍去. ……7分
(2)与轴不垂直时,
设直线的方程为,即,
同理直线的方程为,
由 得
则 所以, ……12分
同理,设点到直线的距离为,点到直线的距离为, 因为,所以=2,
所以 ……14分
化简得,即,
所以直线的方程为: ……15分
由抛物线定义,得所以. ……5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线方程为,.
设,, (均大于零) ……6分
,, 与轴交点的横坐标依次为.
(1)当轴时,直线的方程为,则,不合题意,舍去.……7分
(2)与轴不垂直时,,
设直线的方程为,即,
令得2,同理2,2, ……10分
因为依次组成公差为1的等差数列,
所以组成公差为2的等差数列. ……12分
设点到直线的距离为,点到直线的距离为,
因为,所以=2,
所以 ……14分
得,即,所以,
所以直线的方程为: ……15分
解法二:(Ⅰ)同上. (Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线方程为,.
由题意,设与轴交点的横坐标依次为
设, (均大于零). ……6分
(1)当轴时,直线的方程为,则,不合题意,舍去. ……7分
(2)与轴不垂直时,
设直线的方程为,即,
同理直线的方程为,
由 得
则 所以, ……12分
同理,设点到直线的距离为,点到直线的距离为, 因为,所以=2,
所以 ……14分
化简得,即,
所以直线的方程为: ……15分
略
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