题目内容

3.以双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的右顶点A为圆心作与渐近线相切的圆,过左焦点F作该圆的切线,设切点为P,切线与y轴的交点为M,且FM:MP=8:3,求双曲线的离心率.

分析 由题意可推出FM=$\frac{8}{11}$FP,从而可得FP=$\sqrt{\frac{11}{8}(a+c)c}$,再求得r=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{ab}{c}$,从而利用勾股定理可得(a+c)2=$\frac{11}{8}$(a+c)c+$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}$;从而解得.

解答 解:∵$\frac{FM}{MP}$=$\frac{8}{3}$,
∴$\frac{FM}{FP}$=$\frac{8}{11}$,
即FM=$\frac{8}{11}$FP;
又∵△FMD∽△FAP,
∴$\frac{FD}{FP}$=$\frac{FM}{FA}$,
∴FP=$\sqrt{\frac{11}{8}(a+c)c}$,
A(a,0),
∴r=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{ab}{c}$,
又∵FA2=FP2+PA2
∴(a+c)2=$\frac{11}{8}$(a+c)c+$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}$;
即3e4-5e3-8=(e+1)(e-2)(3e2-2e+4)=0,
解得,e=-1(舍去)或e=2;
故双曲线的离心率为2.

点评 本题考查了双曲线的性质及应用,化简比较困难,属于中档题.

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