题目内容

19．2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省．据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元．适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图（如图）：
（Ⅰ）根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失
表一：
经济损失4000元以下经济损失4000元以上合计
捐款超过500元30
捐款低于500元6
合计
（Ⅱ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50居民捐款情况如表，在表一空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
（Ⅲ）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7：00到8：00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7：30到8：30分之间的任意时刻来到小区，求连续3天内，有2天李师傅比张师傅早到小区的概率．
附：临界值表
k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001
参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，n=a+b+c+d．

分析 （Ⅰ）根据频率分布直方图，即可估计小区平均每户居民的平均损失；
（Ⅱ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论；
（Ⅲ）求出李师傅比张师傅早到小区的概率，即可求连续3天内，有2天李师傅比张师傅早到小区的概率．

解答 解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为x元，则x=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360；
（Ⅱ）由题意，K2=$\frac{50×（30×6-9×5）^{2}}{39×11×35×15}$≈4.046＞3.841，
∴有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关；
（Ⅲ）设李师傅、张师傅到小区的时间分别为x，y，则（x，y）可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为{（x，y）|7≤x≤8，7.5≤y≤8.5}，面积，面积为1，李师傅比张师傅早到小区所构成的区域为{（x，y）|y≥x，7≤x≤8，7.5≤y≤8.5}，面积，面积为1-$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{7}{8}$，
∴概率为$\frac{7}{8}$，
∴连续3天内，有2天李师傅比张师傅早到小区的概率为${C}_{3}^{2}•（\frac{7}{8}）^{2}•\frac{1}{8}$=$\frac{147}{512}$．

点评 本题考查频率分布直方图，独立性检验知识，考查几何概型，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．

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