题目内容

14．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是$\frac{1}{2}$．从开关第二次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是$\frac{1}{3}$，出现绿灯的概率是$\frac{2}{3}$；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是$\frac{3}{5}$，出现绿灯的概率是$\frac{2}{5}$．问：
（Ⅰ）第二次闭合后出现红灯的概率是多少？
（Ⅱ）开关闭合10次时，出现绿灯的概率是多少？

分析 （Ⅰ）如果第一次出现红灯，则接着又出现红灯的概率是 $\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$，如果第一次出现绿灯，则接着出现红灯的概率为 $\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$，再根据加法原理求得第二次闭合时出现红灯的概率．
（Ⅱ）设第n次闭合时，出现红灯的概率是pn，则pn=$\frac{1}{3}$pn-1+$\frac{3}{5}$（1-pn-1）=-$\frac{4}{15}$pn-1+$\frac{3}{5}$，设pn+k=-$\frac{4}{15}$（pn-1+k），求得 k=-$\frac{9}{19}$，再根据等比数列的通项公式求出pn=$\frac{9}{19}$+$\frac{1}{38}$•${（-\frac{4}{15}）}^{n-1}$，从而求得第n次闭合时，出现绿灯的概率是1-pn的解析式，金额求得开关闭合10次时，出现绿灯的概率．

解答 解：（Ⅰ）如果第一次出现红灯，则接着又出现红灯的概率是 $\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$，
如果第一次出现绿灯，则接着出现红灯的概率为 $\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$．
∴第二次出现红灯的概率为 $\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{7}{15}$，
（Ⅱ）设第n次闭合时，出现红灯的概率是pn，则pn=$\frac{1}{3}$pn-1+$\frac{3}{5}$（1-pn-1）=-$\frac{4}{15}$pn-1+$\frac{3}{5}$，
设pn+k=-$\frac{4}{15}$（pn-1+k），即pn=-$\frac{4}{15}$•pn-1-$\frac{19k}{15}$，∴-$\frac{19k}{15}$=$\frac{3}{5}$，求得 k=-$\frac{9}{19}$，
故数列{pn-$\frac{9}{19}$}为等比数列，且公比为-$\frac{4}{15}$．
再根据首项为p1-$\frac{9}{19}$=$\frac{1}{38}$，∴pn-$\frac{9}{19}$=$\frac{1}{38}$•${（-\frac{4}{15}）}^{n-1}$，∴pn=$\frac{9}{19}$+$\frac{1}{38}$•${（-\frac{4}{15}）}^{n-1}$，
故第n次闭合时，出现绿灯的概率是1-pn=$\frac{10}{19}$-$\frac{1}{38}$•${（-\frac{4}{15}）}^{n-1}$，
故开关闭合10次时，出现绿灯的概率是$\frac{10}{19}$+$\frac{1}{38}$•${（\frac{4}{15}）}^{9}$．

点评 本题考查了相互独立事件的概率乘法公式，解答的关键是能够正确分清各种情况，分类时做到不重不漏．

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表一：
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捐款超过500元30
捐款低于500元6
合计
（Ⅱ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50居民捐款情况如表，在表一空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？
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附：临界值表
k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001
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