题目内容
(本小题满分14分)已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆C上,且PF1⊥F1F2, |PF1|=, |PF2|=.
(I)求椭圆C的方程;
(II)若直线L过圆的圆心M交椭圆于A、B两点,且A、B关于点M对称,求直线L的方程。
(I)求椭圆C的方程;
(II)若直线L过圆的圆心M交椭圆于A、B两点,且A、B关于点M对称,求直线L的方程。
解法一:(Ⅰ)因为点P在椭圆C上,所以,a="3. " …….2分
在Rt△PF1F2中,故椭圆的半焦距c=,
从而b2=a2-c2="4, " ………………………………………….5分
所以椭圆C的方程为=1 ………………………………………….7分
(Ⅱ)设A,B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2). 由圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1). 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1, ….9分
代入椭圆C的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27="0. " ….12分
因为A,B关于点M对称. 所以 解得,
所以直线l的方程为 即8x-9y+25="0. " (经检验,符合题意) ….14分
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1).
设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意x1x2且
①
②
由①-②得 ③
因为A、B关于点M对称,所以x1+ x2=-4, y1+ y2=2,
代入③得=,即直线l的斜率为,
所以直线l的方程为y-1=(x+2),即8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意.)
在Rt△PF1F2中,故椭圆的半焦距c=,
从而b2=a2-c2="4, " ………………………………………….5分
所以椭圆C的方程为=1 ………………………………………….7分
(Ⅱ)设A,B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2). 由圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1). 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1, ….9分
代入椭圆C的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27="0. " ….12分
因为A,B关于点M对称. 所以 解得,
所以直线l的方程为 即8x-9y+25="0. " (经检验,符合题意) ….14分
解法二:(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为(-2,1).
设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意x1x2且
①
②
由①-②得 ③
因为A、B关于点M对称,所以x1+ x2=-4, y1+ y2=2,
代入③得=,即直线l的斜率为,
所以直线l的方程为y-1=(x+2),即8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意.)
略
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