Question

14．已知圆F的半径为1，圆心是抛物线y²=16x的焦点，且直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心、1为半径的圆与圆F有公共点，则实数k的最大值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 2
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由抛物线的焦点可得圆心为F（4，0）且半径r=1，根据题意可得F到直线y=kx-2的距离小于或等于2，利用点到直线的距离公式建立关于k的不等式，解之得0≤k≤$\frac{4}{3}$，即可得到k的最大值．

解答 解：∵圆心是抛物线y²=16x的焦点F（4，0），
∴圆C的方程为（x-4）²+y²=1，可得圆心为C（4，0），半径r=1．
又∵直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆F有公共点，
∴点F到直线y=kx-2的距离小于或等于2，可得$\frac{|4k-0-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤2，
化简得：3k²-4k≤0，解之得0≤k≤$\frac{4}{3}$，
可得k的最大值是$\frac{4}{3}$．
故选B．

点评 本题给出定圆与经过定点的直线，当直线与圆有公共点时求参数k的取值范围，着重考查了抛物线的方程和焦点、圆的标准方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．