Question

4．正四面体ABCD的棱长为a，EFG分别是AB，AC，CD的中点，截面EFG交棱BD于H则点A到截面EFGH的距离是$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，把A到截面的距离转化为AD的中点到截面的距离，进一步转化为求AD，BC的中点间的距离得答案．

解答 解：如图，
∵ABCD是正四面体，且E，F，G分别是AB，AC，CD的中点，
可得四边形EFGH为正方形，取AD中点M，BC中点N，连接MN，
则有MN⊥平面EFGH，且M，N到平面EFGH的距离相等，
BM=CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，则MN=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}-（\frac{1}{2}a）^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$．
∴M到平面EFGH的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．
∵AD∥平面EFGH，∴A到平面EFGH的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．

点评 本题考查了棱锥的结构特征，考查了空间直线和平面的位置关系，是基础的计算题．