Question

4．已知F是抛物线C：y²=2px的焦点，M、N是抛物线C上两个动点，OM，ON的倾斜角分别为θ₁、θ₂，且θ₁+θ₂=$\frac{π}{3}$，求证：MN过定点．

Answer 1

分析 设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线MN的方程为y=kx+m，将直线方程与y²=2px联立，消去x，由韦达定理知y₁+y₂，y₁y₂．通过θ₁+θ₂=$\frac{π}{3}$时，利用直线的斜率以及两角和的正切函数，推出mk分关系，得到直线MN恒过定点．

解答 证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），y²=2px，
由题意得x₁≠x₂且x₁，x₂≠0，
所以直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+m，
则x₁=$\frac{{y}_{1}^{2}}{2p}$，x₂=$\frac{{y}_{2}^{2}}{2p}$，
将y=kx+m与y²=2px联立消去x，得：ky²-2py+2pm=0．
则：y₁+y₂=$\frac{2p}{k}$，y₁y₂=$\frac{2pm}{k}$，
OM，ON的倾斜角分别为θ₁、θ₂，且θ₁+θ₂=$\frac{π}{3}$，
又tanθ₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}}$，tanθ₂=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{2}}$，
所以，$\sqrt{3}$=tan（θ₁+θ₂）=$\frac{tan{θ}_{1}+tan{θ}_{2}}{1-tan{θ}_{1}tan{θ}_{2}}$=$\frac{\frac{2p}{{y}_{1}}+\frac{2p}{{y}_{2}}}{1-\frac{2p}{{y}_{1}}•\frac{2p}{{y}_{2}}}$=$\frac{2p（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{y}_{1}{y}_{2}-4{p}^{2}}$=$\frac{2p×\frac{2p}{k}}{\frac{2pm}{k}-4{p}^{2}}$=$\frac{2p}{m-2kp}$．
即m=2pk-$\frac{2p}{\sqrt{3}}$，
直线MN的方程为y=kx+2pk-$\frac{2p}{\sqrt{3}}$，即y+$\frac{2p}{\sqrt{3}}$=k（x+2p），
所以，直线MN恒过定点（-2p，-$\frac{2\sqrt{3}p}{3}$）．

点评 本题考查抛物线中系数p的求法，考查直线EF恒过定点的证明，并求出该定点的坐标，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．