Question

16．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PA⊥面ABCD，PA=$\sqrt{3}$，E，F分别为BC，PA的中点．
（I）求证：BF∥面PDE；
（Ⅱ）求二面角D-PE-A的大小的正弦值；
（Ⅲ）求点C到面PDE的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中点G，连结GF，由已知得四边形BEGF是平行四边形，从而BF∥EG，由此能证明BF∥面PDE．
（Ⅱ）作DH⊥AE于H点，作HI⊥PE于I点，连DI，由三垂线定理得∠DIH是二面角D-PE-A的平面角，由此能求出二面角D-PE-A的大小的正弦值．
（Ⅲ）以A为原点，AD为x轴，在平面ABCD中过A作AD的垂线为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到面PDE的距离．

解答 （Ⅰ）证明：取PD中点G，连结GF，
∵E，F分别为BC，PA的中点，底面ABCD是边长为2的菱形，
∴GF$\underset{∥}{=}$BE，∴四边形BEGF是平行四边形，
∴BF∥EG，
∵BF?平面PDE，EG?平面PDE，
∴BF∥面PDE．
（Ⅱ）解：作DH⊥AE于H点，作HI⊥PE于I点，连DI．
∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，
PA⊥面ABCD，PA=$\sqrt{3}$，
∴DH⊥平面PAE，∴由三垂线定理得∠DIH是二面角D-PE-A的平面角，
AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}-2AE•BE•cos120°}$=$\sqrt{4+1-2×2×1×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{7}$，
DE=$\sqrt{D{C}^{2}+C{E}^{2}-2DC•CE•cos60°}$=$\sqrt{4+1-2×2×1×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{3}$，
∴cos∠AED=$\frac{7+3-4}{2×\sqrt{3}×\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，∴sin∠AED=$\sqrt{1-\frac{3}{7}}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，
∴S_△AED=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{7}×\frac{2}{\sqrt{7}}$=$\sqrt{3}$，
∴DH=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{7}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$，
PD=$\sqrt{P{A}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{3+4}$=$\sqrt{7}$，PE=$\sqrt{P{A}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{3+7}$=$\sqrt{10}$，
cos∠PED=$\frac{3+10-7}{2×\sqrt{3}×\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$，sin∠PED=$\sqrt{1-\frac{3}{10}}$=$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{10}}$，
S_△PED=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{10}×\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，
DI=$\frac{\frac{\sqrt{21}}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{10}}$，
∴$sin∠DIH=\frac{DH}{DI}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}}}•\frac{{\sqrt{10}}}{{\sqrt{21}}}=\frac{2}{7}\sqrt{10}$，
∴二面角D-PE-A的大小的正弦值为$\frac{2}{7}\sqrt{10}$．
（Ⅲ）解：以A为原点，AD为x轴，在平面ABCD中过A作AD的垂线为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则P（0，0，$\sqrt{3}$），D（2，0，0），E（2，$\sqrt{3}$，0），C（3，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{PD}$=（2，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PE}$=（2，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（3，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
设平面PDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=2x-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=2x+\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，0，2）$，
∴点C到面PDE的距离：
d=$\frac{|\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要注意余弦定定理和向量法的合理运用．