题目内容
15.长方体的共顶点的三个侧面的面积分别为$\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{15}$,则它的外接球的表面积为( )A. | 6π | B. | 7π | C. | 8π | D. | 9π |
分析 由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线,求出长方体的对角线,就是求出球的直径,然后求出球的表面积.
解答 解:因为一个长方体相邻的三个面的面积分别是$\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{15}$,
设长方体的一个顶点上的三条棱长分别是a,b,c
则$\left\{\begin{array}{l}{ab=\sqrt{3}}\\{ac=\sqrt{5}}\\{bc=\sqrt{15}}\end{array}\right.$
解得:a=1,b=$\sqrt{3}$,c=$\sqrt{5}$
∴长方体的一个顶点上的三条棱长分别是1、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$,且它的8个顶点都在同一个球面上,
∴长方体的对角线就是确定直径,
长方体的体对角线的长是:$\sqrt{1+3+5}$=3
球的半径是:R=$\frac{3}{2}$
这个球的表面积:S=4π($\frac{3}{2}$)2=9π
故选:D.
点评 本题是基础题,考查球的内接多面体的有关知识,球的表面积的求法,注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键,考查计算能力,空间想象能力.
练习册系列答案
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A. | 2 | B. | 5 | C. | -1 | D. | -5 |
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