题目内容

(本小题满分13分).某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为立方米,且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为千元,设该容器的建造费用为千元.

(Ⅰ)写出关于的函数表达式,并求该函数的定义域;
(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的

(I)
(II)是函数y的极小值点,也是最小值点。
(2)当时,建造费用最小时时,建造费用最小时

解析试题分析:(I)设容器的容积为V,
由题意知

由于
因此…………………………………………………………………….3分
所以建造费用
因此………………………………………..5分
(II)由(I)得
由于


所以………………………………….7分
(1)当时,

所以是函数y的极小值点,也是最小值点。………………….10分
(2)当时,
函数单调递减,
所以r=2是函数y的最小值点,
综上所述,当时,建造费用最小时
时,建造费用最小时………………13分
考点:本题主要考查导数在实际问题中的应用,利用导数求函数的最值,几何体特征及体积计算。
点评:高考题,构建函数关系、准确求导数是解题的关键。

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