题目内容
【题目】椭圆C： 
的左右焦点分别是F1 ， F2 ， 离心率为 
，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1 ， PF2 ， 设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1 ， PF2的斜率分别为k1 ， k2 ， 若k≠0，试证明 
为定值，并求出这个定值．
【答案】
（1）解：把﹣c代入椭圆方程得 
，解得 
，
∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴ 
．
又 
，联立得 
解得 
，
∴椭圆C的方程为 
（2）解：如图所示，设|PF1|=t，|PF2|=n，
由角平分线的性质可得 
，
又t+n=2a=4，消去t得到 
，化为 
，
∵a﹣c＜n＜a+c，即 
，也即 
，解得 
．
∴m的取值范围； 
（3）证明：设P（x0，y0），
不妨设y0＞0，由椭圆方程 ，
取 
，则 
= 
，
∴k= 
= 
．
∵ 
， 
，
∴ 
= 
，
∴ 
= 
=﹣8为定值．
【解析】（1）把﹣c代入椭圆方程并化简，再结合“过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1”与离心率的值可列出方程组，解方程组即可求得椭圆的方程；（2）设|PF1|=t，|PF2|=n，利用角平分线的性质表示出t于n的比值，再利用椭圆的性质将t消去，再根据n的取值范围求得m的取值范围；（3）设出点P的坐标，椭圆方程变形为关于x的函数，再利用导函数得到切线的斜率，即可得到k1，k2，代入即可证明.
【考点精析】掌握直线的斜率和椭圆的标准方程是解答本题的根本，需要知道一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα；椭圆标准方程焦点在x轴：
，焦点在y轴：
．
