题目内容

【题目】如图在正方体ABCD-A1B1C1D1EFPQMN分别是棱ABADDD1BB1A1B1A1D1的中点.求证

(1)直线BC1∥平面EFPQ.

(2)直线AC1⊥平面PQMN.

【答案】(1)见解析(2) 见解析

【解析】试题分析:(1)只需利用三角形中位线定理证明直线BC1平行于平面EFPQ内一条直线FP即可;

(2)只需证明直线AC1垂直于平面PQMN内两条相交直线MN,PN即可。

试题解析:(1)连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1∥BC1

因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.

从而BC1∥FP.

而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,

故直线BC1∥平面EFPQ.

(2)连接AC,BD,则AC⊥BD.

由CC1⊥平面ABCD,BD平面ABCD,可得CC1⊥BD.

又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1.

而AC1平面ACC1,所以BD⊥AC1.

因为M,N分别是A1B1A1D1的中点,

所以MN∥BD,从而MN⊥AC1.

同理可证PN⊥AC1.

又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.

点晴:本题第一问考查的是直线与平面平行的判定。通过证明平面外的直线与平面内的直线线平行,从而证明线面平行。寻找线线平行的一般办法有:一、利用三角形中位线定理,二、利用平形四边形的性质;三、利用两直线都垂直于同一平面,两直线平行;四、利用线面平行的性质等。

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