Question

【题目】已知函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）设函数，若在上存在极值，求的取值范围，并判断极值的正负．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当时，在上存在极值，且极值都为正数

【解析】分析：（1）先求导，再对a分类讨论得到函数的单调性.(2)先求导，

再构造函数研究函数在上的极值情况，求的取值范围，并判断极值的正负．

详解：（1）定义域为，，

①当时，在上恒成立，所以在上单调递增；

②当时，令，得，

∴当时，，单调递减，

当时，，单调递增．

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在单调递减，在上单调递增．

（2），，

∴，

设，则，

由，得，

当时，；当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，

且，，，

显然，

结合图象可知，若在上存在极值，则

解得．

①当即时，

则必定，，使得，且，

当变化时，，，的变化情况如表：

		极小值		极大值

∴当时，在上的极值为，，且，

∵，

设，其中，．

∵，∴在上单调递增，，当且仅当时取等号．　

∵，∴，

∴当时，在上的极值.

②当即时，

则必定，使得，

易知在上单调递增，在上单调递减，

此时，在上的极大值是，且，

∴当时，在上存在极值，且极值都为正数，

综上所述，当时，在上存在极值，且极值都为正数．