题目内容
【题目】定义在上的函数
满足:对任意的
,都有:
(1)求证:函数是奇函数;
(2)若当时,有
,求证:
在
上是减函数;
(3)在(2)的条件下解不等式:;
(4)在(2)的条件下求证:.
【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)(4)详见解析
【解析】
(1)令x=y=0 可求得f(0)=0;令y=﹣x代入可判断f(x)的奇偶;
(2)设﹣1<x1<x2<1,利用f(x1)﹣f(x2)=f(x1)+f(﹣x2),分析判断出﹣1
0,再结合条件即可证明结论;
(3)根据奇偶性与单调性可得不等式组,解之即可;
(4)可得,
结合(2)可得结果.
解:(1)令得:
设,则
,
,即
,
函数
是奇函数;
(2)设,则
,
由知:
,且
,所以
,即
,
,又
即,从而
,故
,即
,
即,所以
在
上是减函数
(3),又由
为奇函数,即
,
由(2)知在
上是减函数,
解得:,故不等式的解集为
;
(4)
,
故
由,
,
即
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