题目内容
【题目】如图,在四棱锥A-EFCB中,为等边三角形,平面AEF
平面EFCB,
,
,
,
,O为EF的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角F-AE-B的余弦值;
(Ⅲ)若BE平面AOC,求a的值.
【答案】(I)证明见解析;(II);(III)
.
【解析】
(I)由于平面AEF平面EFCB,
为等边三角形,O为EF的中点,则
,根据面面垂直性质定理,所以AO
平面EFCB,又
平面EFCB,则
.
(II) 取CB的中点D,链接OD,以O为原点,分别以OE,OD,OA为x,y,z轴建立空间直角坐标系,A,E
,B
,
,
,由于平面AEF与Y轴垂直,则设平面AEF的法向量为
,设平面AEB的法向量
,
,
,
,
,y=-1,则
,二面角F-AE-B的余弦值cos(
,
)=
=
,由二面角F-AE-B为钝二面角,所以二面角F-AE-B的余弦值为
.
(Ⅲ)由(I)知平面EFCB,则
,若
平面
,只需
,
,又
,
,解得
或
,由于
,则
.
【考点精析】利用向量语言表述线线的垂直、平行关系对题目进行判断即可得到答案,需要熟知设直线的方向向量分别是
,则要证明
∥
,只需证明
∥
,即
;则要证明
,只需证明
,即
.
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