Question

20．过点P（4，1）作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A，B两点．
（1）当△AOB面积最小时，求直线l方程；
（2）当OA+OB取最小值时，求直线l方程．

Answer 1

分析 由题意设A（a，0），B（0，b），其中a，b为正数，可得直线的截距式为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1，代点可得$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，
（1）由基本不等式可得ab≥16，由等号成立的条件可得a和b的值，可得直线方程；
（2）OA+OB=a+b=（a+b）（$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$）=5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$，由基本不等式等号成立的条件可得直线的方程．

解答 解：由题意设A（a，0），B（0，b），其中a，b为正数，
可得直线的截距式为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1，∴$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，
（1）由基本不等式可得1=$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$≥2$\sqrt{\frac{4}{ab}}$，解得ab≥16
当且仅当$\frac{4}{a}$=$\frac{1}{b}$即a=8且b=2时，上式取等号，
∴△AOB面积S=$\frac{1}{2}ab$≥8，
此时直线l的方程为$\frac{x}{8}$+$\frac{y}{2}$=1，即x+4y-8=0；
（2）OA+OB=a+b=（a+b）（$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$）
=5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥5+2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}{b}}$=9
当且仅当$\frac{4b}{a}$=$\frac{a}{b}$即a=6且b=3时取等号，
此时直线l的方程为$\frac{x}{6}$+$\frac{y}{3}$=1，即x+2y-6=0．

点评 本题考查直线的截距式方程，涉及基本不等式求最值，属中档题．