Question

20．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+x，a∈R
（1）若f（1）=0，求函数的最大值
（2）令g（x）=f（x）-（ax-1），求函数g（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）代入f（1）=ln1-$\frac{1}{2}$a+1=0，求a值，利用导数的正负判断函数单调性，利用单调性求最值
（2）求g'（x）=$\frac{-a（x+1）（x-\frac{1}{a}）}{x}$，利用二次函数知识对a进行分类讨论得出g（x）的单调区间

解答 解：（1）f（1）=ln1-$\frac{1}{2}$a+1=0，
∴a=2，
∴f（x）=lnx-x²+x，
f'（x）=$\frac{1}{x}$-2x+1
=-$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0，
故函数f（x）的单调递增区间是（0，1）；单调递减区间是（1，+∞），
∴函数的最大值为f（1）=0；
（2）g（x）=f（x）-（ax-1）
=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+x-ax+1，
g'（x）=$\frac{-a（x+1）（x-\frac{1}{a}）}{x}$，
①当a＞0时，令g'（x）＞0，解得0＜x＜$\frac{1}{a}$； 令g'（x）＜0，解得x＞$\frac{1}{a}$，
所以函数f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递减；
②当a＜0时，
 显然，在（0，+∞）上，g'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a=0时，g'（x）=$\frac{x+1}{x}$，
 显然，在（0，+∞）上，g'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．

点评 考察了导函数求最值和二次函数分类讨论问题，注意定义域的问题．