题目内容
6.已知点A(sin2x,1),B(1,cos(2x+$\frac{π}{6}$)),设函数f(x)=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$(x∈R),其中O为坐标原点.(1)求函数f(x)的最小正周期
(2)当x∈[0,$\frac{π}{2}$]时,求函数f(x)的最大值与最小值.
(2)求函数f(x)的单调减区间.
分析 (1)由条件利用两个向量的数量积的公式,三角恒等变换求得f(x)的解析式,再利用正弦函数的周期性求得函数f(x)的最小正周期.
(2)当x∈[0,$\frac{π}{2}$]时,利用正弦函数的定义域和值域,求得函数f(x)的最大值与最小值.
(3)由条件利用正弦函数的减区间求得函数f(x)的单调减区间.
解答 解:(1)∵A(sin2x,1),$B(1,cos(2x+\frac{π}{6}))$,∴$\overrightarrow{OA}=(sin2x,1)$,$\overrightarrow{OB}=(1,cos(2x+\frac{π}{6}))$,
∴$f(x)=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=sin2x+cos(2x+\frac{π}{6})=sin2x+cos2xcos\frac{π}{6}-sin2xcos\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x=sin2xcos\frac{π}{3}+cos2xsin\frac{π}{3}=sin(2x+\frac{π}{3})$.
故f(x)的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$.
(2)∵$0≤x≤\frac{π}{2}$,∴$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{4π}{3}$,∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin(2x+\frac{π}{3})≤1$,∴f(x)的最大值和最小值分别为1和$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$.
(3)由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ,k∈Z$得$\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{7π}{12}+kπ,k∈Z$,∴f(x)的单调减区间是$[\frac{π}{12}+kπ,\frac{7π}{12}+kπ],k∈Z$.
点评 本题主要考查两个向量的数量积的公式,三角恒等变换,正弦函数的周期性、定义域和值域和最值,属于基础题.

A. | -1 | B. | 1 | C. | -2 | D. | 2 |
A. | (-1,0)∪(1,+∞) | B. | (-1,0)∪(0,1) | C. | (-∞,-1)∪(1,+∞) | D. | (-∞,-1)∪(0,1) |
A. | m>$\frac{1}{2}$ | B. | m$<\frac{1}{2}$ | C. | 0$≤m<\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{1}{2}<m≤1$ |