题目内容

11.已知在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°,E,F分别是PC,AB的中点.
(1)PC⊥EF;
(2)求点F到平面PBC的距离.

分析 (1)连接DF,CF,PF,则由题意PD=DE=EB=BC,证明PE=CE,利用E是PC的中点,即可证明PC⊥EF;
(2)由VP-FBC=VF-PBC,可求点F到平面PBC的距离.

解答 解:(1)连接DF,CF,PF,则由题意PD=DE=EB=BC,
∵∠PDE=∠BCD=90°,
∴PE=CE,
∵E是PC的中点,
∴PC⊥EF;
(2)设点F到平面PBC的距离为h,则
由VP-FBC=VF-PBC,可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}$h,
∴h=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

点评 本题考查线面垂直的性质,考查点F到平面PBC的距离,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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