题目内容
【题目】 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD= ,PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O为AD中点.
(1) 求直线PB与平面POC所成角的余弦值;
(2)线段上是否存在一点,使得二面角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【答案】 (1) .(2)存在,.
【解析】试题分析:由PA=PD, O为AD中点,侧面PAD⊥底面ABCD,可得PO⊥平面ABCD.又在直角梯形ABCD中,易得,所以可以O为坐标原点,OC为x轴,OD为y轴, OP为z轴建立空间直角坐标系,然后利用空间向量求解.
试题解析:(1)在中,,为AD的中点,所以,
侧面PAD底面ABCD,PO面ABCD.又在直角梯形ABCD中,连接,则,以O为坐标原点,直线OC为X轴,直线OD为Y轴,直线为Z轴建立空间直角坐标系.,,,
所以,直线PB与平面所成角的余弦值为.
(2) 假设存在,则设=λ(0<λ<1)
因为=(0,1,﹣1),所以Q(0,λ,1﹣λ).
设平面CAQ的法向量为=(a,b,c),则,
所以取=(1﹣λ,λ﹣1,λ+1),
平面CAD的法向量=(0,0,1),
因为二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为,
所以=,
所以3λ2﹣10λ+3=0.
所以λ=或λ=3(舍去),
所以=.