题目内容
【题目】已知为坐标原点,椭圆
:
的左焦点是
,离心率为
,且
上任意一点
到
的最短距离为
.
(1)求的方程;
(2)过点的直线
(不过原点)与
交于两点
、
,
为线段
的中点.
(i)证明:直线与
的斜率乘积为定值;
(ii)求面积的最大值及此时
的斜率.
【答案】(1);(2)(i)见解析;(ii)
面积的最大值是
,此时
的斜率为
.
【解析】试题分析:(1)由题设可以得到关于的方程组为
,从而
,故
,所以椭圆
的方程为
.(2)设直线
为:
,
,
,
,联立直线的方程和椭圆的方程并消元后可以得到
,利用韦达定理得到
,故
,从而
为定值.利用弦长公式和点到直线的距离可得
,令
,从而
,最后利用基本不等式可以得到面积的最大值为
且此时
也就是
.
解析:(1)由题意得,解得
,∴
,
,∴椭圆
的方程为
.
(2)(i)设直线为:
,
,
,
,由题意得
,
∴,∴
,即
,由韦达定理得:
,
,∴
,
,∴
,∴
,∴直线
与
的斜率乘积为定值.
(ii)由(i)可知:
,又点
到直线
的距离
,
∴的面积
,令
,则
,∴
,当且仅当
时等号成立,此时
,且满足
,∴
面积的最大值是
,此时
的斜率为
.

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