Question

19．函数y=sinxcosx+sinx+cosx，x∈[0，$\frac{π}{3}$]的最大值是$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），由条件利用同角三角函数的基本关系、正弦函数的定义域和值域可得函数y=$\frac{1}{2}$（t+1）²-1，再利用二次函数的性质求得它的最大值．

解答 解：令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]，可得x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]，
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，∴t∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$]，sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$．
∴函数y=sinxcosx+sinx+cosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t=$\frac{1}{2}$（t+1）²-1，
故当t=$\sqrt{2}$时，函数y取得最大值为$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，辅助角公式，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于中档题．