题目内容
14.已知向量$\overrightarrow{a}$=(cosθ,sinθ)与向量$\overrightarrow{b}$=(1,1)的夹角为$\frac{π}{6}$,则sin2θ=( )A. | $\frac{3}{4}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | -$\frac{1}{2}$ |
分析 根据向量数量积的关系进行化简得到cosθ+sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{2}$,然后平方即可求sin2θ的值.
解答 解:∵$\overrightarrow{a}$=(cosθ,sinθ)与向量$\overrightarrow{b}$=(1,1),
∴|$\overrightarrow{a}$|=1,|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$,$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=(cosθ,sinθ)•(1,1)=cosθ+sinθ,
∵向量$\overrightarrow{a}$=(cosθ,sinθ)与向量$\overrightarrow{b}$=(1,1)的夹角为$\frac{π}{6}$,
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$1×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$,
即cosθ+sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{2}$,
平方得1+2sinθcosθ=$\frac{6}{4}$,
即sin2θ=$\frac{1}{2}$,
故选:C
点评 本题主要考查三角函数的化简和求值以及向量数量积公式的应用,考查学生的运算能力.
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A. | 1 | B. | $\sqrt{2}$ | C. | $\sqrt{3}$ | D. | 2 |