题目内容
【题目】已知函数,其中
(Ⅰ)若,讨论
的单调性;
(Ⅱ)若,当
时,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)首先求出函数的定义域,求出函数的导函数,再对
和
分类讨论可得;
(Ⅱ)令,求得导函数为
,再令
,对
求导得
,对参数
分类讨论计算可得;
(Ⅰ)因为,所以
.
所以.
①当时,由
得
;由
得
.
故在
上单调递减,在
上单调递增.
②当时,由
得
;由
得
.
故在
上单调递减,在
上单调递增
综上,①当时
在
上单调递减,在
上单调递增;
②当时
在
上单调递减,在
上单调递增.
(Ⅱ)若,不等式转化为当
时,
恒成立.
令,则
.
令,则
.
①当时,对任意
,恒有
,
所以在
上单调递增,所以
,所以
不合题意.
②当时,因为
,所以
,所以
,即
,
所以在
上单调递减,所以
,即
,
所以在
上单调递减,所以
,
所以符合题意.
③当时,令
,解得
:令
,解得
.
所以在
上单调递增.所以
,即
,
所以在
上单调递增,所以当
时,
,
故不合题意.
综合①②③可知,实数的取值范围是
.
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