Question

已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点（4，-）（1）求双曲线的方程.（2）若点M(3,m)在双曲线上，求证：.（3）若点A,B在双曲线上，点N(3,1)恰好是AB的中点，求直线AB的方程(12分)

Answer 1

（1） .（2）。

试题分析：(1)根据离心率为,可知双曲线为等轴双曲线,可设双曲线的方程为,再根据它过点（4，-）代入双曲线方程求出参数值，方程确定.
(2)根据点M(3,m)在双曲线上,可求出m值，然后求出,从而得到.
(3)因为N（3，1）为弦AB的中点，可利用点差法求得直线的斜率，进而写出点斜式方程.
（1） ∵离心率为，∴双曲线为等轴双曲线.∵双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上∴设双曲线的方程为，，
∵点（4，-）在双曲线上∴，∴双曲线的方程为，.（2）∵M(3,m)在双曲线上，∴，∵，，∴
∴∴.（3）∵点N(3,1)恰好是弦AB的中点∴有点差法易得，∴直线AB的方程为
∴
点评：当知道弦中点时，可利用点差法求得弦所在直线的斜率，写出点斜式方程再化成一般式方程即可.